Módulo 9

Leis de Kepler - gravitação

 

Leis de Kepler: Johannes Kepler, matemático e astrônomo alemão, viveu no século XVI, e é considerado o pai da astronomia moderna. Baseado em suas observações do espaço, e cálculos, ele descobriu 3 importantes fatos sobre a gravitação entre um estrela e os planetas que giram em torno dela, pegando como exemplo óbvio o nosso sistema solar. As 3 Leis de Kepler são:

1ª Lei de Kepler: todos os planetas tem órbita elíptica em torno de sua estrela, ou seja, em forma de uma oval. A cosmologia atual diz que toda estrela se originou de uma nebulosa, que é um gigantesco aglomerado de matéria, e em depois de um grande espaço de tempo essa matéria se aglutina em um ponto de gravidade, dando origem à estrela, e a matéria restante formam-se os planetas. À partir disso pode-se concluir que a nebulosa solar era de certa forma plana, pois todos os planetas, exceto plutão, se encontram orbitando em um plano horizontal.

2ª Lei de Kepler: um planeta varre uma certa área de órbita em um mesmo espaço de tempo. Kepler descobriu que o Sol não ficava no centro da elipse da órbita dos planetas, e sim um pouco mais para o lado, e chamou o período mais perto do Sol de periélio e o mais distante de afélio. A área que um planeta varre é em relação ao sol, então veja o desenho:

O sol não fica no centro, mas em um dos focos da elipse. Porém a elispse das órbitas possuem excentricidade tão pequenas, que pode-se considerar uma circunferência, com o Sol no centro.
A explicação para essa segunda lei é simples. Lembre-se da conservação de energia. Quando o planeta está mais próximo do Sol, sua energia potencial gravitacional diminui, logo sua energia cinética aumenta. Por isso o planeta translada mais rapidamente quando está perto do Sol.

3ª Lei de Kepler: a lei matemática sobre a gravitação dos planetas. Kepler disse que a razão entre o quadrado do período de translação de um planeta(T) pelo cubo do raio médio de sua órbitra(R) são uma constante, logo T² / R³ = constante de Kepler. Kepler descobriu essa relação empiricamente, testando valores de todos os planetas. Mais abaixo veremos por que essa relação é verdadeira. Essa é provavelmente a mais importante lei de Kepler, e a mais cobrada em provas.

Gravitação: Newton, estudando a queda de objetos e o sistema solar, propôs que massa atrai massa. Não se sabe ao certo o porquê até hoje, mas esse é um fato, massa atrai massa. Newton postulou uma fórmula matemática, obtida empiricamente, que é F = G.M.m / d², onde G é a constante universal gravitacional, que vale aproximadamente 6.67 . 10^-11 unidades do SI, M e m a massa dos corpos em questão e d a distância entre eles. Nota-se, pelo valor de G, que a força gravitacional para ser percebida, é necessário massas muito grandes, como planetas. Nota, para esferas d é a distância entre os centros das esferas.

Prova da 3ª lei de Kepler: Após a formulação da teoria gravitacional de newton, foi possível explicar matematicamente a 3ª lei de Kepler. Essa prova exige o conceito de resultante centrípeta, da cinemática, e a aproximação da órbita dos planetas para um circunferência:

 

Nota-se que a única variável possível é M, então pode-se dizer que essa constante depende apenas da massa da estrela que está no centro. No caso da Terra, a 3ª lei de Kepler também é válida, então todos os satélites artificiais e a lua obedecem essa lei. A idéia de igualar a resultante centrípeta à força gravitacional é útil também em exercícios de satélites.

Energia potencial gravitacional: Agora sabemos que a atração gravitacional não é constante a qualquer altura. Como o raio da Terra é aproximadamente 6400 km, alguns metros de altura não fazem muita diferença. Porém quando se fala de medidas astronômicas é o raio da Terra que fica desprezível. Então redefinirei o conceito de energia potencial. Trata-se do trabalho realizado para trazer um corpo do infinito até o ponto em questão. Como a força gravitacional é atrativa, o trabalho realizado será para frear o objeto, ou melhor, evitar que ele se acelere. Atente-se ao fato que a energia potencial no infinito é zero. Observemos o gráfico da força gravitacional em função da distância, para pontos fora do corpo em questão. Lembre-se que o trabalho é a área debaixo do gráfico.

 

Gravidade dentro de um corpo: Imagine um planetaesférico e homogêneo. Agora fazemos um buraco nele e colocamos um outro corpo nesse buraco. Como fica a força gravitacional nesse corpo? Nesse caso, uma parte do planeta atrai o corpo para um lado, e outra parte atrai para o outro lado. É fácil perceber que no centro do planeta a força é nula. Mas e em outros pontos? Para resolver esse problema vou apelar para um espécide de Lei de Gauss, da elétrica. Desenha-se uma esfera, com centro no centro do planeta, que passa pelo ponto em questão. Só a parte de dentro da esfera contará no cálculo da força. A explicação para isso é que a parte de fora da esfera desenhada se anula. Não cabe a mim tentar provar isso aqui, vamos tomar isso como certo. Observe:

 

Observe que dentro de um planeta, a força cresce linearmente com a distância. Agora completemos o nosso gráfico de energia potencial gravitacional:

 

Calcular a energia potencial dentro do planeta agora é fácil. A área desde R até infinito é G.M.m/R, e a área do ponto em questão até R é fácil de se fazer, pois é um trapézio. Não se esqueça do sinal de menos na frente.

Velocidade de escape: Quando vemos um foguete decolar, vemos toda a fumaça que ele solta, e dá pra imaginar a potência das turbinas. É comum vermos em desenhos animados alguém lançando uma pedra para cima e essa pedra não voltando mais, dando a entender que ela saiu do campo gravitacional terrestre. Mas qual seria a força necessária para fazer uma pedra ir embora para nunca mais voltar? Para isso, essa pedra tem que chegar no infinito com uma velocidade, nem que seja infinitesimal. Como a energia potencial gravitacional é nula no inifinito, temos que Em >0. Basta a energia mecânica ser maior que zero para a pedra sair do campo gravitacional terrestre. Agora calculemos a energia mecânica na superfície da Terra, e vamos ver em que chegamos. Ve é a velocidade de escape:

Em = Ec +Epg

Em > 0

\ Ec + Epg >0

m.Ve²/ 2 - G.M.m/R >0

m.Ve²> 2.G.M.m/R

\ Ve = sqrt (2.G.M/R)

Note que a velocidade de escape independe da massa do objeto. A física moderna diz que a luz possui uma massa inercial, então a luz está sujeita a campos gravitacionais. Isso foi comprovado em uma observação de um eclipse, em que foi vista um estrela logo acima do Sol, enquanto a estrela estava na verdade atrás do Sol. Considerando esse fato, vamos pensar sobre buraco negro. Buraco negro é um corpo com gravidade tão forte que nem a luz escapa. Ou seja, a velocidade de escape do buraco negro é c(@3.10⁸ m/s). Fazendo as contas, e utilizando a massa do Sol como @2.10³⁰ kg, obtemos que o Sol teria que encolher seu raio para 3km. O Sol tem aproximadamente 696.000 km.

Corpos com massas próximas: até agora analisamos corpos muito grandes atraindo corpos muito pequenos. Porém, quando corpos com massas semelhantes se atraem, quem gira em torno de quem? A verdade é que nenhum gira em torno de nenhum, e sim ambos giram em torno do centro de massa. A força é calculada normalmente pela fórmula já vista. O centro de massa é calculado com um média ponderada de massas, sendo que o centro de massa fica mais perto do corpo de maior massa. Para calcular o centro de massa, lembre-se do módulo anterior, coloque o referencial no centro de massa e lembre-se que o torque resultante tem que ser nulo.