Autor Tópico: Aplicação de radical duplo para simplificar uma expressão  (Lida 3251 vezes)

Kalil Mori

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Aplicação de radical duplo para simplificar uma expressão
« Online: 28 de Outubro de 2011, 00:56 »
Pessoal, estou com dificuldade numa questão de simplificação. Sou iniciante e por isso não sei usar devidamente as propriedades de radical duplo, que foram mencionadas como dica.

Questão: Simplifique:
\sqrt{1+(x\sqrt{1+y^{2}}+y\sqrt{1+x^{2}})^{2}}-\sqrt{1+(x\sqrt{1+y^{2}}-y\sqrt{1+x^{2}})^{2}}

Resposta: 2xy
Dica: Usar a fórmula de radical duplo

Alguém pode me ajudar?

srcb

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Re:Aplicação de radical duplo para simplificar uma expressão
« Resposta #1 Online: 28 de Outubro de 2011, 08:31 »
A fórmula do radical duplo é a seguinte:

\sqrt{A\pm \sqrt{B}} = \sqrt{\frac{A+C}{2}}\pm \sqrt{\frac{A-C}{2}}
, em que
C=A^{2}-B
« Última modificação: 23 de Novembro de 2011, 22:16 por admin »

Vinícius

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Re:Aplicação de radical duplo para simplificar uma expressão
« Resposta #2 Online: 28 de Outubro de 2011, 15:44 »
Uma ideia:

\sqrt{1+x^2+x^2y^2+y^2+x^2y^2+2xy\sqrt{x^2+y^2+x^2y^2+1}}-\sqrt{1+x^2+x^2y^2+y^2+x^2y^2-2xy\sqrt{x^2+y^2+x^2y^2+1}}

Substituindo
k=\sqrt{x^2+y^2+x^2y^2+1}

\sqrt{k^2+2kxy+x^2y^2}-\sqrt{k^2-2kxy+x^2y^2}

\sqrt{(k+xy)^2}-\sqrt{(k-xy)^2}

\big|k+xy\big|-\big|k-xy\big|

Então, basta provar que
k+xy\geq 0
e
k-xy\geq 0

Assim, a expressão fica:
k+xy-k+xy
2xy

Kalil Mori

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Re:Aplicação de radical duplo para simplificar uma expressão
« Resposta #3 Online: 28 de Outubro de 2011, 19:29 »
Muito obrigado pela paciência Vinícius, você está sempre me ajudando.

Obrigado também srcb pela atenção.